Элементы теории вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука , изучающая закономерности в случайных явлениях.

                                                                  1. Случайные события.

                                                                      Основные понятия.

      Р   Рассмотрим простой опыт , заключающийся в подбрасывании монеты. Этот опыт имеет два исхода : либо монета упадет так , что сверху окажется герб, либо она ляжт  ляжет гербом  вниз. Тот или иной исход опыта зависит от многих причин , которые не пнне поддаются учету , и заранее предсказать результат опыта нельзя. Событие ,состсостоящее в том , что  ’’выпал герб’’ , является примером случайного события. ДругДругими примерами случайных событий могут служить : появление единицы при бросбросании игрального кубика , выход из строя электролампы до определенного сроксрока и т.д.

Резу  Результат некоторого опыта или наблюдения будем  называть событием.

Эле     Элементарным исходом будем называть элементарное , неразложимое

 соб  событие.

Соб   События называются элементарными , если они обладают свойствами:

-           - взаимно исключают друг друга , и в результате опыта обязательно происходит  одно из этих элементарных событий;

       -   каково бы ни было случайное событие А ,по наступившему элементарному событию можно сказать о том , произошло или не произошло событие А

      Элементарные события обычно обозначаются греческими буквами ,а их           в        совокупность -  Ώ  будем  называть пространством элементарных событий.

      Пример. При бросании игрального кубика элементарными событиями  можно      

      считать появление любого числа от 1 до 6. Очевидно ,что в этом опыте всего      им   имеется 6 элементарных событий.

1. Алгебра событий.

          Событие  называется  достоверным , если оно наступает в результате любого  

          элементарного события. Обозначается  достоверное  событие  Ώ  (омега).

          Пример: при бросании кубика выпадет натуральное число , меньшее 7. Это

          достоверное событие.

            Невозможным называется событие, не наступающее ни при каком   

            элементарном     

            событии. Невозможное событие обозначается символом   Ǿ . Пример: в опыте с

            кубиком выпадет отрицательное число.

           Суммой двух событий А и В назовем событие А+В или (АƯВ), происходящее  

              тогда и только тогда, когда происходит или А , или В.

           Пример:Событие « выпало четное число» является суммой событий : выпало 

             2,выпало 4, выпало 6.

 Очевидные соотношения :

                                                                     А+ Ǿ=А ;  А+ Ώ= Ώ ; А+А=А .

          Произведением событий А и В назовем событие АВ или (А∩В), которое  

          происходит тогда и только тогда , когда происходит и А ,и В.

Пример: при бросании игрального кубика «выпало 5» является произведением событий : выпало нечетное и выпало больше трех. Очевидно соотношение:

                                                                 А Ǿ= Ǿ ;   А Ώ=А ;  АА=А .

Два события назовем несовместимыми, если их одновременное появление в опыте невозможно , т.е. АВ= Ǿ.

ПРИМЕР: Выпало четное и нечетное число при бросании игрального кубика – события несовместимые.

Событие назовем противоположным к событию , если оно происходит  тогда и только тогда  ,когда  не происходит событие .Очевидно соотношение:

                                                       + =  ;  А = Ǿ ; = А .

ПРИМЕР: Выпало четное и нечетное число (при бросании одного игрального кубика)  - события противоположные.

Разностью событий A и B назовем событие A\ B , происходящее тогда и только тогда  ,когда   происходит событие  ,но не происходит событие тогда и только тогда  ,когда  не происходит событие В. Очевидные соотношения:

.

ПРИМЕР 1 . Производится два выстрела по цели . Пусть событие A  - попадание в цель при первом выстреле , В – при втором , тогда:

 – промах при первом выстреле; -  промах при втором выстреле.

Пусть поражение цели  событие  С (когда достаточно хотя бы одного попадания)  

       выразим через А и В.

        -   попадание при двух выстрелах;

 – промах при первом выстреле и попадание при втором;

 – попадание при первом и промах при втором. Тогда :

                 С= А + В + АВ.

 С другой стороны : 

                           С =    - событие ,противоположное двум промахам.

ПРИМЕР 2. Бросание монеты .Пусть монета подбрасывается три раза . Обозначим Г –выпадание герба при одном бросании, Р- решки . Пространство элементарных исходов состоит из   8  точек:

ГГГ   ГГР  ГРГ  РГГ  ГРР  РГР  РРГ  РРР.

Событие  А «Выпало не менее двух гербов»  это :  ГГГ   ГГР   ГРГ   РГГ.

Событие В « Выпало ровно одна решка» означает : ГГР   ГРГ   РГГ.

3.   Определения вероятности.

Классическое определение вероятности события формулируются следующим образом:

Вероятность Р( А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М) ,благоприятствующих событию А , к числу всех возможных результатов опыта (N) :

             Примеры вычисления вероятности по классической формуле :

Пример 1.Подбрасывание игральной кости один раз.

  Событие А – «Выпавшее число очков- четно». В этом случае  N=6 – число граней куба,  М= 3 – число граней с четными номерами.  Тогда Р(А)= 3: 6= 0,5.

Пример 2.Подбрасывание монеты два раза.

    Событие А- «Выпало ровно два герба» . В этом случае N=4 (ГГ  ГР  РГ  РР ), М=1,т.к. А=ГГ .                                        

Пример 3.Вытягивание шара из урны , содержащей 2 белых и 3 черных шара .

Событие А- «Вытянули черный шар».   N= 2+3=5 ( всего шаров в урне),  М=3 ( число черных шаров).

Пример 4.Набирая номер телефона абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того ,  что он с первого раза наберет эти цифры правильно, если он помнит ,что они различны ?

Решение: Событие А- «Две последние цифры набраны правильно».

М=1 (Один вариант верный ) .

Пример 5.В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того ,что оба шара будут белыми.

РЕШЕНИЕ: Обозначим событие А – «Вынули 2 белых шара».

                                (Всего вариантов)

                                 (Благоприятных вариантов)

                             .

4.СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ.

           Вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам . 

     Т,к. в формуле классической вероятности   .

      Вероятность достоверного события равна   .

      Вероятность невозможного события равна Р( Ǿ )=0.   

       Вероятность суммы событий равна А+В равна Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) ;

       Если события А и В несовместимы ,то формула суммы двух событий упрощается

       Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

       С помощью этой формулы можно найти вероятность противоположных событий:

         А +   =  Ω , Р(А + ) = Р( Ω) ,  Р(А) + Р( ) = 1 , Р( ) = 1–Р(А).

События называются независимыми , если происхождение одного события не зависит от    того произошло ли другое событие или нет.

При зависимых событиях А и В имеет смысл говорить об условной вероятности (Р(А|В)) события  А    при условии ,что событие В уже произошло.

   При независимых событиях  Р(А| В) =Р(А).

Вероятность произведения событий АВ выражается формулой P(AB) = P(A|B)·P(B) или Р(АВ) =Р(А В)·Р(В).

             ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.

 Прибор , работающий в течении время t , состоит из трех узлов ,каждый из которых ,  независим от других, может выйти из строя в течении времени t.отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t Надежность (вероятность безотказной работы)  первого узла 0,9 ; второго узла 0,8 ,а третьего – 0,7. Найдите надежность прибора в целом ?

РЕШЕНИЕ: А – безотказная работа прибора;

А1 – безотказная работа 1 узла ;

А2 – безотказная работа 2 узла ;

А3 - безотказная работа 3 узла ;

А= А1·А2·А3; А1,А2,А3 – независимые события.

 Р(А)=р(А1·А2·А3)= Р(А1) ·Р(А2) ·Р(А3)= О,9·0,8·0,7=О,504.

Студент пришел сдавать  зачет, зная из 30 вопросов только20. Какова вероятность сдать зачет ,если после отказа отвечать на первый вопрос преподаватель задает еще один ?

  РЕШЕНИЕ:

А – студент сдаст зачет ;

В – студент ответил на первый вопрос ;

С – студент ответил на второй вопрос .

А  = В + ·С , т.е. студент сдаст зачет ,если он ответит на первый вопрос или , не ответив на первый ,  ответит на второй .

 Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р( С) – Р(В С)

В С = Ǿ  , т.к. В и  не могут выполняться одновременно, значит :                              Р(А) = Р(В) + Р( С);

Р(В) =   ;  Р(С ) = Р(С | ) · Р( ).

 Р( ) = 1 – Р(В) =  ;  Р(С| ) =   ,т.к. осталось 29 вопросов ,из них студент знает 20.

Р(А) =2/3 + 20/29*1/3 = 26/29

3. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8 ;  а вторым 0,7. Стрелки делают по цели по одному выстрелу одновременно. Определить вероятность того , что цель будет поражена ,если стрелки стреляют не зависимо друг от друга.

РЕШЕНИЕ:

 1 Способ.

А1 – цель поражена первым стрелком ;

А2 – цель поражена вторым стрелком ;

А –  цель поражена .

      А = А1 + А2. по правилу сложения :

Р(А) = Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1А2) = 0,8 + 0,7 – 0,8 · 0,7 = 0,94.

                 2 СПОСОБ.

                  – цель поражена .

                 А = 1 * 2

                 Р( ) = Р( 1· 2) = Р( 1) · Р( 2) = (1 – 0,8) · (1 – 0,7) = 0,06.

                  Р(А) = 1 – Р( ) = 1 – 0,06 = 0,94.

    6  ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

            Пусть требуется определить вероятность некоторого события А ,  которое может произойти вместе с одним из событий Н1 ,Н2,Н3,…,НN, которые являются несовместимыми. Эти события будут называться гипотезами. В  этом случае вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность событий при этой гипотезе :

Эта формула называется формулой полной вероятности.

ПРИМЕРЫ: Имеются 3 одинаковые на вид урны: в первой урне 2 белых и 1 черный шар ;  во второй урне 3 белых и 1 черный; в третьей – 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и выбирает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

РЕШЕНИЕ : Рассмотрим три гипотезы :

Н1 – выбрана 1 урна;

Н2 – выбрана 2 урна  ;

Н3 – выбрана 3 урна  .

      Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) =

Условные вероятности события А при этих гипотезах :

     Р (А | Н1) =   ;    Р (А | Н2) =   ;    Р (А|Н3 ) =  ;

      Р (А) =   . 

 2. Пластмассовые изделия изготавливаются на трех прессах . Первый пресс вырабатывает – 50% всех изделий , второй – 30 % и третий – 20 %.

     При этом первый пресс дает 0,025 % брака , второй  - 0,02 % , а третий – 0,015 %.

     Найдите вероятность того , что наугад взятое со склада изделие соответствует стандарту.

   РЕШЕНИЕ:

Н1 – появление изделий с 1 пресса ;

Н2 – появление изделий со 2 пресса ;

Н3 – появление изделий с 3 пресса.

 А – соответствует стандарту.

    .

1. Некто вышел из дома и не может вспомнить ,какая улица ведет к его школе Он выбирает наугад один из возможных путей ( см. рисунок). Какова вероятность того , что он при этом попадет в школу ?

Решение: обозначим Нi – выбор дороги.

Событие D – путник добрался до школы

7 . Формула Бейеса.        |

Если событие А произошло ,то можно вычислить условную вероятность того, что   

           вместе с событием А  осуществилась гипотеза Нi.

          Примеры использования формулы Бейеса.

      1.      На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех  

           поточных   

            линиях. На 1 линии производится 20% изделий от всего объема их производства,       на 2 – 30% , на 3 – 50%. Каждая линия характеризуется соответственно  

            следующими процентами брака: 5%, 2%, 3;. Наугад взятое изделие оказалось

          бракованным. Какова вероятность того , что оно сделано на первой линии?

     Решение:

     Нi – изделие произведено на i-той линии.

      А – изделие оказалось бракованным.

      По формуле Бейеса:

3. В группе из 10 студентов ,пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 –

      хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохою Имеется 20 вопросов , причем :

      отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы , хорошо   

       подготовленный – на 16 , удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо  

      подготовленный – на 5.

         Вызванный наугад студент , ответил на три заданных ему случайным образом

         вопроса. Найти вероятность того , что этот студент плохо подготовлен и ему 

           просто повезло с вопросами.

          Решение:

         А – случайно выбранный студент ответил на все доставшиеся ему вопросы.

          Н1 – студент подготовлен отлично,

           Н2 – студент подготовлен хорошо,

            Н3 – студент подготовлен удовлетворительно,

            Н4 – студент плохо подготовлен, .

      P(A|H1) =1; P(A|H2) =  

          По формуле Бейеса:

8. Задача «контроля качества».

         Среди K  поставленных единиц товара  n не удовлетворяет  предъявленным   

            условиям . Найти вероятность того ,что среди k  K , отобранных  для

          выборочного контроля качества ,  ровно

 l    L не будут удовлетворять этим требованиям.

           Решение: опыт заключается  в случайном отборе  k образцов. Следовательно ,

            исходы этого испытания равновозможны и их общее число равно    .  

           Событие А состоит в том , что из k отобранных ровно  l  будут  удовлетворять

            этим требованиям. Число исходов , благоприятствующих А , согласно правилу

            произведения     -                     

             здесь первый множитель дает число вариантов отбора хороших , а второй  

                   плохих образцов.

          Задача1. В партии товара  из 100 электрических ламп 3% бракованных. Найти

            вероятность

              того, что в коробке из 10 ламп окажется ровно одна бракованная.

               Здесь К=100; L= 100 · 0,03=3;    |

            К=10;  l = 1.

           А – ровно одна бракованная.                  

         Задача2. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4

             шара. Найти вероятность того , что среди них найдется:

              а) 2 белых шара;

               б ) меньше , чем 2 белых шара;

               в) хотя бы один белый шар.

           Решение:

              Всего исходов     

а) число благоприятных исходов :  

             б) А2 – событие «среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых»

               (т.е. в1 – один белый и 3 черных или в2 – нет ни одного белого)  

             в) A3- среди вынутых шаров хотя бы один белый.

9. Геометрическая схема вероятности.

Рассмотрим отрезок  [0;m].

              Бросаем на этот отрезок точку случайным образом ( попадания в любую

                   точку  равновозможны).

          Событие А – попадание точки на отрезок  [ a ; b ], входящий в отрезок  [ o ; m ].

          Решение: P( A ) = k ( b – a ) – вероятность пропорциональна длине отрезка.

     -         достоверное событие  попадания на отрезок  [ o ; m ],

       P ( Ω ) =  1 = k   ( m – o )

          k =    ; P (A) =  · (b – a ).

      Задача. Случайное событие – вероятность падения  в промежуток  [4 ; 5] точки ,           брошенной на отрезок  [1 ; 9].             

       Аналогично для плоской фигуры.

            , где    S(Ω) и S(A)  - площади соответствующих  фигур.

       Задача. В квадратном окне со стороной  а есть квадратная форточка со  

        стороной  в .Во время игры мяч случайно попадает в окно. Какова вероятность

           ,что окно при этом : а) не разобьется;

                 б) разобьется ?

         Решение:

        а)   

б)  

                                        10. Повторные испытания. Схема Бернулли.

       Предположим, что событие А происходит в результате n независимых  испытаний

       , притом в каждом испытании вероятность события А постоянна и равна  Р.  

        Результатом каждого испытания является либо событие А ,либо событие .  

        Последнее происходит с вероятностью q=1 – р.

         Если рассматривать все n испытаний как одно испытание , то его результатом

        является произведение вероятностей событий А и  . Здесь ввиду

         независимости исходных испытаний важен не порядок событий, а число

         повторений события А. Частоту повторения события А обозначим k ,

       (0 k n). Вероятность появления события А k  раз вычисляют    

       по формуле         Бернулли:     где

      Задача1. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных зерен взойдет не меньше 4 ?

      Решение:

      Задача2. Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку ,

        равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат: 

            а) ровно 5; б) не менее 5.

        Решение: 

         а) 

         б)